febrero 27, 2021
Curvas de bezier

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Para un ejemplo de una curva cúbica de Bézier, ver Fig.a1. Los polinomios de Bernstein están estrechamente relacionados con estas curvas, y a menudo se denominan curvas de Bernstein-Bézier. La diferencia clave entre las curvas de Bézier y los polinomios de Bernstein es que las curvas de Bézier son una representación paramétrica basada en puntos de control con valor vectorial, mientras que los polinomios de Bernstein se consideran comúnmente una secuencia de aproximaciones con valor real a otra función.
En sus numerosas propiedades geométricas y analíticas reside la utilidad de las curvas de Bézier. Para la estimación, diferenciación, subdivisión de las curvas y conversión a otras representaciones útiles, existen algoritmos elegantes y eficaces. Bajo transformaciones afines, son invariantes (la curva transformada es similar a la curva obtenida al aplicar la transformación a los puntos de control, y luego al calcular la curva de Bézier resultante), se encuentran en el casco convexo de sus puntos de control, y oscilan a sus puntos de control no más que el interpolante lineal a destajo.
Las curvas de Bézier se aplican a menudo de forma natural a las superficies (que son aún más importantes a efectos de diseño, véase la superficie de Bézier), los volúmenes, etc. Existe también una extensión lógica de las curvas de Bézier que permite representar con precisión las secciones cónicas. En las zonas donde la forma es esencial, estas propiedades y algoritmos hacen famosas las curvas. Ejemplos de estos campos, además del CAD, son la animación por ordenador y el diseño de fuentes. El uso de las curvas, como el dibujo de formas curvas o el movimiento a lo largo de un camino no lineal, también implica la creación de juegos.

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Sin embargo, para realizar los cálculos, las computadoras necesitan una función. Las ecuaciones son razonablemente sencillas para las rectas (y = mx +b). Las curvas tienden a ser un poco más complejas, por otra parte. Una curva de Bézier es un tipo de curva más fácil que es útil en el diseño de juegos en una amplia gama de formas. Para empezar, tendrás que estar muy familiarizado con los siguientes temas de matemáticas: Una curva formada con tres puntos es una curva Bézier cuadrática.
El comienzo y el final de la curva están definidos por el primer punto y el tercer punto. El punto intermedio afecta a la curvatura de la línea, y no está en la curva mucho tiempo. Al principio, esto puede parecer complicado, pero es más simple de lo que parece: el rasgo está lergiendo a lo largo de la línea entre p0 y p1, mientras que lergiendo a lo largo de la línea entre p1 y p2 al mismo tiempo.
Para obtener nuestro punto en la curva, tomamos los dos puntos generados por esas dos funciones lerp y luego lerp a lo largo de ese valor. Cualquier cosa como esto se ve así: En los gráficos por ordenador, las curvas de Bézier son comunes.

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Mucho antes de las computadoras, fueron introducidas indirectamente en las matemáticas teóricas, especialmente por el matemático francés Charles Hermite y el matemático ruso Sergei Bernstein. Pero fue sólo el trabajo de Pierre Bézier, un empleado de Renault, un fabricante de automóviles, y Paul de Casteljau, de Citroën, lo que hizo que los especialistas en gráficos se familiarizaran con estas curvas. Los polinomios definidos por Bernstein han vuelto a interesar a los matemáticos. El punto B(t) para t entre 0 y 1 es t en el camino de uno a otro.
Es el mismo que el promedio ponderado de los dos puntos, con el peso de 1-t dado a P0 y el peso de t dado a P1. Por ejemplo, cuando t=1/2, el punto (1/2)(P0 + P1) a mitad de camino entre P0 y P1 es B(t). El vector de velocidad es 3(P1-P0) cuando t=0 y es 3 cuando t=1 (P3-P2).
Así pues, la ruta comienza en P0, termina en P3; se dirige hacia P1 cuando sale de P0, y viene de la dirección de P2 cuando llega a P3. Por lo demás, la relación es intuitivamente débil entre la dirección y los puntos de control. La matriz por M – M-1] no afecta a la fórmula general, pero nos permite cambiar algo – M] a una serie M – algo] de la secuencia matricial, y eso hace un mundo de diferencia: si sabemos lo que es M-1 – Z – M], podemos aplicarlo a nuestras coordenadas,

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Y hemos terminado: ahora tenemos una expresión que nos ayuda a aproximar una curva en el orden n+1 con una curva en el orden n-ésimo.
No va a ser una coincidencia precisa, pero probablemente sea la mejor aproximación. Así que, añadamos estas reglas para ¿Existen formas más fáciles, sin embargo?
David Eberly de Geometric Resources, LLC aborda una de estas formas en “Moviéndose a lo largo de una curva con velocidad especificada” pero básicamente porque no tenemos una función de longitud explícita (o más bien, una que no tenemos que hacer) Empecemos: vamos a asumir que hemos elegido la curva de orden correcto: estamos ajustando una curva de orden n-1º para n puntos, por lo que estamos empezando con un vector P que representa las coordenadas que ya conocemos, y para el que estamos ajustando una curva de orden n-1º.

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